Eine kurze Einführung in die Logik - mit Übungen

Was ist Logik? Und wie wenden wir sie an?

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Wenn wir argumentieren, dann machen wir Gebrauch von Logik. Logik ist die Lehre von gültigen Schlussfolgerungen und von Fehlschlüssen.

 

Betrachte das folgende Beispiel einer Schlussfolgerung:

 

Unter Gott verstehe ich ein allmächtiges, wohlwollendes und übernatürliches Wesen. Wenn es einen Gott gibt, dann würde er die Welt so erschaffen, dass sie schön und majestätisch ist. Nun ist die Welt tatsächlich schön und majestätisch. Folglich muss es auch einen Gott geben.

 

Die Frage, die die Logik hier zu beantworten versucht, ist: Ist diese Schlussfolgerung gültig? Oder handelt es sich hier um einen Fehlschluss?

 

Um herauszufinden, ob diese Schlussfolgerung gültig ist oder nicht, versuchen wir zuerst das im Beispiel vorgebrachte Argument zu formalisieren. Formalisieren bedeutet, ein alltagssprachliches Argument in eine formale Sprache zu übersetzen.

 

Im Beispiel kommen mehrmals die gleichen oder ähnliche Sätze vor, die wir mit einem Buchstaben abkürzen können, nämlich so:

 

p steht für „Es gibt einen Gott“

q steht für „Die Welt ist schön und majestätisch“

 

Wenn wir im Beispiel nun die Sätze durch die Buchstaben ersetzen, dann sieht das Beispiel nun so aus (den ersten Satz beiseite gelassen):

 

Wenn p, dann q.

q.

Folglich p.

 

Die „Wenn … dann ...“-Beziehung zwischen p und q wird in der Logik oft durch einen Pfeil ( → ) ersetzt:

 

p -> q

q

Folglich p

 

Das „Folglich“ wird in der Logik oft mit einem langen Strich ( --- ) gekennzeichnet, so dass das, was unter dem Strich ist, die Schlussfolgerung darstellt:

 

p -> q

q

----------

p

 

Die Formalisierung hilft uns, die Struktur oder den Aufbau eines Arguments sichtbarer und deutlicher zu machen. Und dank der Formalisierung kann man hier auch leichter erkennen, dass bei diesem Argument etwas nicht stimmt. Es handelt sich nämlich um einen Fehlschluss.

 

Warum handelt es sich hier um einen Fehlschluss? Es ist hilfreich, sich die Definition einer gültigen Schlussfolgerung anzuschauen:

 

Ein Schluss ist gültig, genau dann, wenn es unmöglich ist, dass seine Prämissen wahr sind, seine Konklusion aber falsch ist.

 

Im Beispiel sind die Prämissen:

 

p → q („Wenn es einen Gott gibt, dann ist die Welt schön und majestätisch“)

q („Die Welt ist schön und majestätisch“)

 

Und die Konklusion ist:

 

p („Es gibt einen Gott“)

 

Um zu prüfen, ob die Schlussfolgerung gültig ist, müssen wir also schauen, ob es möglich ist, dass die Prämissen wahr sind, die Konklusion aber dennoch falsch ist.

 

Ein Weg das zu tun, ist, indem wir unsere Vorstellungskraft verwenden und sorgfältig über die Schlussfolgerung nachdenken. Wir könnten uns hierzu eine Atheistin oder eine Ungläubige vorstellen, die beide Prämissen akzeptiert, aber dennoch nicht glaubt, dass es einen Gott gibt. Sie könnte zugeben, dass ein möglicher Grund für die Schönheit und das Majestätische der Welt der ist, dass es einen Gott gibt. Sie könnte aber argumentieren, dass es noch andere Gründe dafür gibt, warum die Welt schön und majestätisch ist. Sie könnte zum Beispiel sagen, dass die Schönheit und das Majestätische der Welt zufällig im Laufe der Evolution entstanden ist, ohne dass dabei ein Gott mitgewirkt hätte. Es ist also möglich, dass beide Prämissen wahr sind, die Konklusion aber dennoch falsch ist.

 

Ein anderer Weg zu überprüfen, ob die Schlussfolgerung gültig ist oder nicht, ist, indem wir eine sogenannte Wahrheitswerttabelle erstellen. Mit der Wahrheitswerttabelle überprüfen wir systematisch die Gültigkeit einer Schlussfolgerung.

 

In der Logik ist jeder Satz entweder wahr oder falsch. Anders ausgedrückt, jeder Satz hat entweder den Wahrheitswert "Wahr" oder den Wahrheitswert "Falsch".

 

W steht für „Wahr“

F steht für „Falsch“

 

Bei der Erstellung einer Wahrheitswerttabelle weisen wir jedem Satz einen Wahrheitswert zu, nämlich so:

 

p („Es gibt einen Gott“)

 

p

W

F

 

 

q („Die Welt ist schön und majestätisch“).

 

q

W

F

 

Bei zwei Sätzen gibt es insgesamt 4 Möglichkeiten, wie die Wahrheitswerte verteilt werden können:

 

p

q

W

W

W

F

F

W

F

F

 

 

Um zu prüfen, ob eine Schlussfolgerung gültig ist oder nicht, schauen wir bei jeder Möglichkeit nach, ob sie wahre Prämissen und eine falsche Konklusion hat.

 

Nun gibt es logische Operatoren, sogenannte Junktoren, die zwei Sätze miteinander verbinden. Einen Junktor haben wir schon gesehen, nämlich die „Wenn .. dann ...“-Beziehung, auch Implikation genannt.

 

A → B ( „Wenn A, dann B“ oder „A impliziert B“)

 

Die Verbindung zweier Sätze mit einem Junktor hat selbst einen Wahrheitswert. Der Wahrheitswert einer solchen Verbindung hängt von den Wahrheitswerten der Sätze ab, die sie verbindet. Wenn wir A und B miteinander durch eine Implikation verbinden, dann erhält sie folgende Wahrheitswerte:

 

A

B

A → B

W

W

W

W

F

F

F

W

W

F

F

W

 

Der Satz, der sich links vom Pfeil befindet, nennt sich Antezedenz und der Satz auf der rechten Seite nennt sich Konsequenz.

 

Die Implikation zwischen A und B erhält nur dann den Wahrheitswert „Falsch“, wenn die Antezedenz, in diesem Fall A, wahr und die Konsequenz, in diesem Fall B, falsch ist. Ansonsten erhält sie den Wahrheitswert „Wahr“.

 

Bei der Implikation ist zu beachten, dass die Reihenfolge der Sätze eine Rolle spielt:

 

A → B ("Wenn A, dann B")

 

ist nicht das gleiche wie

 

B → A ("Wenn B, dann A").

 

Ein weiterer Junktor ist die Konjunktion.

 

A & B („A und B“)

 

Wenn wir A und B miteinander durch eine Konjunktion verbinden, dann erhält sie folgende Wahrheitswerte:

 

A

B

A & B

W

W

W

W

F

F

F

W

F

F

F

F

 

Die Konjunktion zwischen A und B erhält nur dann den Wahrheitswert „Wahr“, wenn A und B wahr sind. Ansonsten erhält sie den Wahrheitswert „Falsch“.

 

Ein weiterer Junktor ist die Disjunktion.

 

A V B („A oder B“)

 

Wenn wir A und B miteinander durch eine Disjunktion verbinden, dann erhält sie folgende Wahrheitswerte:

 

A

B

A V B

W

W

W

W

F

W

F

W

W

F

F

F

 

Die Disjunktion zwischen A und B erhält nur dann den Wahrheitswert „Falsch“, wenn A und B falsch sind. Ansonsten erhält sie den Wahrheitswert „Wahr“.

 

Ein weiterer Junktor ist die Negation.

 

- A („Nicht A“)

 

Die Negation ist etwas speziell, weil sie keine Sätze verbindet, sondern sich nur an einem Satz bindet. Wenn wir A mit der Negation verbinden, dann erhält sie folgende Wahrheitswerte:

 

 

A

- A

W

F

F

W

 

Die Negation von A kehrt den Wahrheitswert von A um. Wenn A wahr ist, dann erhält die Negation von A den Wahrheitswert „Falsch“. Wenn A falsch ist, dann erhält die Negation von A den Wahrheitswert „Wahr“.

 

Mit diesen Junktoren sind wir nun in der Lage, Schritt für Schritt eine Wahrheitswerttabelle für das Argument im Beispiel zu erstellen. Zur Erinnerung, das Argument sieht formalisiert so aus:

 

p -> q

q

----------

p

 

Wir beginnen mit der Implikation:

 

p → q

 

p

q

p → q

W

W

W

W

F

F

F

W

W

F

F

W

 

 

Die Prämissen untereinander verbinden wir mit einer Konjunktion:

 

(p → q) & q

 

p → q

q

(p → q) & q

W

W

W

F

F

F

W

W

W

W

F

F

 

 

Die Verbindung zwischen den Prämissen und der Konklusion ist eine Implikation:

 

((p → q) & q) → p

 

 

(p → q) & q

p

((p → q) & q) → p

W

W

W

F

W

W

W

F

F

F

F

W

 

 

Dank dieser Wahrheitswerttabelle können wir nun sehen, dass die Schlussfolgerung

p -> q

q

----------

p

 

ungültig ist.

 

Die Ungültigkeit der Schlussfolgerung kann man daran erkennen, dass eine Zeile der möglichen Wahrheitswerte in der letzten Implikation den Wahrheitswert „Falsch“ besitzt:

 

((p → q) & q) → p

W

W

F

W

 

Was bedeutet es, dass eine Zeile der möglichen Wahrheitswerte in der letzten Implikation den Wahrheitswert „Falsch“ besitzt? Es bedeutet, dass es möglich ist, dass die Prämissen wahr sind, die Konklusion aber dennoch falsch ist.